Question

സമചതുരം ABCD യുടെ വശങ്ങളുടെ മധ്യബിന്ദുക്കളാണ് P, Q, R, S. ഷെയ്ഡ് ഇല്ലാത്ത സ്ഥലം സമചതുരത്തിന്റെ എത്ര ഭാഗം വരും?

• A. 2/3
• B. 1/2
• C. 3/4
• D. 5/6

Answer 1

Answer:

B. 1/2

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ABCD യെ PR, SQ എന്നീ ഭാഗങ്ങളാൽ നാല് തുല്യ ചെറിയ ചതുരങ്ങളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു, കാരണം P, Q, R, S എന്നിവ വശങ്ങളുടെ മധ്യബിന്ദുക്കളാണ്.

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ABCD യുടെ വശങ്ങളുടെ നീളം $L$ ആയിരിക്കട്ടെ.

$\text{ABCD}$ ചതുരത്തിന്റെ ആകെ വിസ്തീർണ്ണം $L^2$ ആണ്.

PR, SQ എന്നീ വരികൾ ചതുരത്തിന്റെ മധ്യത്തിൽ വിഭജിക്കുന്നു (ഇതിനെ O എന്ന് വിളിക്കാം), ഇത് നാല് സർവസമമായ $L/2 \times L/2$ ചതുരങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു (ഉദാ. $\text{APOS}$, $\text{PBQO}$, മുതലായവ). ഓരോ ചെറിയ ചതുരത്തിന്റെയും വിസ്തീർണ്ണം $(L/2)^2 = L^2/4$ ആണ്.

1. ഷേഡഡ് ഏരിയ കണക്കാക്കുക

ഷേഡഡ് ഏരിയയിൽ നാല് ത്രികോണങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ചിത്രം നിരീക്ഷിച്ചാൽ, ഈ നാല് ത്രികോണങ്ങളിൽ ഓരോന്നും നാല് ചെറിയ $L/2 \times L/2$ ചതുരങ്ങളിൽ ഒന്നിന്റെ കൃത്യമായി പകുതിയാണ്.

ചെറിയ ചതുരങ്ങളിൽ ഏതെങ്കിലും ഒന്നിന് (ഉദാ. മുകളിൽ ഇടത് ചതുരം $\text{APOS}$), ഷേഡഡ് ത്രികോണം $L/2$ നീളമുള്ള കാലുകളുള്ള ഒരു വലത് കോണുള്ള ത്രികോണമാണ്.

ഒരു ഷേഡഡ് ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം $= \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height} = \frac{1}{2} \times \frac{L}{2} \times \frac{L}{2} = \frac{L^2}{8}$

നാല് സമാന ഷേഡഡ് ത്രികോണങ്ങൾ ഉള്ളതിനാൽ:

ആകെ ഷേഡഡ് ഏരിയ $= 4 \times (\text{ഒരു ഷേഡഡ് ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം})$

$4 \times \frac{L^2}{8} = \frac{4L^2}{8} = \frac{L^2}{2}$

ആകെ ഷേഡഡ് ഏരിയ ചതുരത്തിന്റെ ആകെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന്റെ $\frac{1}{2}$ ആണ് ($L^2$).

2. ഷേഡുചെയ്യാത്ത ഭിന്നസംഖ്യ നിർണ്ണയിക്കുക

ഷേഡുചെയ്‌ത ചതുരത്തിന്റെ ഭിന്നസംഖ്യ ഇതാണ്:

$\text{Fraction Shaded} = \frac{\text{Total Shaded Area}}{\text{Total Square}} = \frac{L^2/2}{L^2} = \frac{1}{2}$

$\text{Fraction Unshaded} = 1 - \text{Fraction Shaded} = 1 - \frac{1}{2} = \mathbf{\frac{1}{2}}$