Question

$1 + 4 + 9 + 16 + 25 + ....... + 324=?$

• A. 2190
• B. 1995
• C. 2005
• D. 2109

Answer 1

Answer:

D. 2109

സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണിയിലെ തുക കണ്ടെത്തൽ

വിശദീകരണം:

• നൽകിയിരിക്കുന്ന ശ്രേണി 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + ....... + 324 എന്നത് ആദ്യത്തെ ചില പൂർണ്ണ വർഗ്ഗങ്ങളുടെ (perfect squares) തുകയാണ്.
• ഈ ശ്രേണിയിലെ ഓരോ സംഖ്യയും ഒരു പൂർണ്ണ സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമാണ്:
  • 1 = 1²
  • 4 = 2²
  • 9 = 3²
  • 16 = 4²
  • 25 = 5²
• അവസാനത്തെ സംഖ്യയായ 324, 18-ൻ്റെ വർഗ്ഗമാണ് (18² = 324).
• അതുകൊണ്ട്, ഈ ചോദ്യം ആദ്യത്തെ 18 പൂർണ്ണ വർഗ്ഗങ്ങളുടെ തുക കണ്ടെത്താനാണ് ആവശ്യപ്പെടുന്നത്.

സൂത്രവാക്യം:

• n പൂർണ്ണ വർഗ്ഗങ്ങളുടെ തുക കണ്ടെത്താനുള്ള സൂത്രവാക്യം: S_n = n(n+1)(2n+1) / 6

കണക്കുകൂട്ടൽ:

• ഇവിടെ, n = 18 (ആദ്യത്തെ 18 പൂർണ്ണ വർഗ്ഗങ്ങൾ).
• സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച്:
  • S₁₈ = 18(18+1)(2*18+1) / 6
  • S₁₈ = 18(19)(36+1) / 6
  • S₁₈ = 18(19)(37) / 6
  • S₁₈ = 3 * 19 * 37
  • S₁₈ = 57 * 37
  • S₁₈ = 2109

ഇപ്രകാരം, നൽകിയിട്ടുള്ള ശ്രേണിയുടെ തുക 2109 ആണ്.