Question

0.5 കി.ഗ്രാം പിണ്ഡമുള്ള ഒരു ബ്ലോക്ക്. k = 200 N/m എന്ന ബലസ്ഥ സ്ഥിരാങ്കമുള്ള ഒരു സ്പ്രിംഗിൽ ഘടിപ്പിച്ച് ഘർഷണരഹിതമായ ഒരു തിരശ്ചീന പ്രതലത്തിൽ സ്ഥാപിക്കുന്നു. ഇത് സന്തുലിതാവസ്ഥയിൽ നിന്ന് 5 സെൻ്റിമീറ്റർ അകലം എടുത്ത് നിശ്ചലാവസ്ഥയിൽ നിന്ന് പുറത്തുവിടുന്നു. മന്ഥനത്തിൻ്റെ സമയ കാലയളവ് ............ആണ്.

• A. 1.2 s
• B. 0.5 s
• C. 2.5 s
• D. 0.31 s

Answer 1

Answer:

D. 0.31 s

ലളിത ഹാർമോണിക് ചലനവും (Simple Harmonic Motion - SHM) സമയ കാലയളവും

• ലളിത ഹാർമോണിക് ചലനം (SHM): ഒരു സ്പ്രിംഗിൽ ഘടിപ്പിച്ച ബ്ലോക്ക് ഘർഷണരഹിതമായ തിരശ്ചീന പ്രതലത്തിൽ ചലിക്കുമ്പോൾ അത് ലളിത ഹാർമോണിക് ചലനത്തിന് ഉദാഹരണമാണ്. ഒരു സന്തുലിതാവസ്ഥാ ബിന്ദുവിന് ചുറ്റും ഒരു വസ്തുവിന് അനുഭവപ്പെടുന്ന ആവർത്തന ചലനമാണിത്.
• സമയ കാലയളവ് (Time Period - T): ഒരു ലളിത ഹാർമോണിക് ചലനത്തിൽ, ഒരു പൂർണ്ണ ദോലനം (oscillation) പൂർത്തിയാക്കാൻ എടുക്കുന്ന സമയമാണ് സമയ കാലയളവ്. ഇതിൻ്റെ യൂണിറ്റ് സെക്കൻഡ് (s) ആണ്.
• സ്പ്രിംഗ്-മാസ്സ് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സമയ കാലയളവ് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം: ഒരു സ്പ്രിംഗിൽ ഘടിപ്പിച്ച പിണ്ഡത്തിൻ്റെ സമയ കാലയളവ് (T) താഴെ പറയുന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കാം:
  T = 2π√(m/k)

സൂത്രവാക്യത്തിലെ ഘടകങ്ങൾ

• m: ദോലനം ചെയ്യുന്ന ബ്ലോക്കിൻ്റെ പിണ്ഡം (mass) ആണ്. ഇത് കിലോഗ്രാമിൽ (kg) അളക്കുന്നു.
• k: സ്പ്രിംഗിൻ്റെ ബലസ്ഥിരാങ്കം (spring constant) ആണ്. ഇത് സ്പ്രിംഗിൻ്റെ കാഠിന്യം (stiffness) സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഇതിൻ്റെ യൂണിറ്റ് ന്യൂട്ടൺ/മീറ്റർ (N/m) ആണ്. 'k' യുടെ മൂല്യം കൂടുന്തോറും സ്പ്രിംഗ് കൂടുതൽ കടുപ്പമുള്ളതായിരിക്കും.

പ്രശ്ന പരിഹാരം

• നൽകിയിട്ടുള്ള വിവരങ്ങൾ:
  
  • പിണ്ഡം (m) = 0.5 കി.ഗ്രാം
  • സ്പ്രിംഗ് സ്ഥിരാങ്കം (k) = 200 N/m
• സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് കണക്കുകൂട്ടൽ:
  T = 2π√(m/k)
  T = 2π√(0.5 / 200)
  T = 2π√(1/400)
  T = 2π * (1/20)
  T = π/10 സെക്കൻഡ്
  T ≈ 3.14159 / 10 ≈ 0.314159 സെക്കൻഡ്
• അതിനാൽ, ഏകദേശം 0.31 സെക്കൻഡ് ആണ് മന്ഥനത്തിൻ്റെ സമയ കാലയളവ്.

മത്സര പരീക്ഷകൾക്കായുള്ള പ്രധാന വസ്തുതകൾ

• ആംപ്ലിറ്റ്യൂഡിൻ്റെ സ്വാധീനം: ലളിത ഹാർമോണിക് ചലനത്തിൽ (ഒരു ആദർശ സ്പ്രിംഗിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ), ദോലനത്തിൻ്റെ ആംപ്ലിറ്റ്യൂഡ് (amplitude) അഥവാ പരമാവധി സ്ഥാനാന്തരം, സമയ കാലയളവിനെ നേരിട്ട് ബാധിക്കുന്നില്ല. സമയ കാലയളവ് പിണ്ഡത്തെയും സ്പ്രിംഗ് സ്ഥിരാങ്കത്തെയും മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.
• ഹുക്കിൻ്റെ നിയമം (Hooke's Law): ഒരു സ്പ്രിംഗിന്മേലുള്ള പുനഃസ്ഥാപിക്കുന്ന ബലം (F) അതിൻ്റെ നീളലിന് (x) നേർ അനുപാതത്തിലായിരിക്കും. F = -kx. ഇവിടെ നെഗറ്റീവ് ചിഹ്നം ബലം സ്ഥാനാന്തരത്തിന് വിപരീത ദിശയിലാണെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
• ആവൃത്തി (Frequency - f): ഒരു സെക്കൻഡിൽ പൂർത്തിയാക്കുന്ന ദോലനങ്ങളുടെ എണ്ണമാണ് ആവൃത്തി. ഇത് സമയ കാലയളവിൻ്റെ വ്യുൽക്രമമാണ് (f = 1/T). ആവൃത്തിയുടെ യൂണിറ്റ് ഹെർട്സ് (Hz) ആണ്.
• ഊർജ്ജ സംരക്ഷണം (Energy Conservation): ഘർഷണമില്ലാത്ത ലളിത ഹാർമോണിക് ചലനത്തിൽ, വസ്തുവിൻ്റെ യാന്ത്രിക ഊർജ്ജം (ഗതികോർജ്ജവും സ്ഥിതികോർജ്ജവും ചേർന്നത്) എല്ലായ്പ്പോഴും സ്ഥിരമായിരിക്കും.
• ലളിത പെൻഡുലത്തിൻ്റെ സമയ കാലയളവ് (Time Period of Simple Pendulum): ഒരു ലളിത പെൻഡുലത്തിൻ്റെ സമയ കാലയളവ് T = 2π√(L/g) എന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ചാണ് കണക്കാക്കുന്നത്. ഇവിടെ 'L' പെൻഡുലത്തിൻ്റെ നീളവും 'g' ഗുരുത്വാകർഷണ ത്വരണം (acceleration due to gravity) ആണു്. ഇത് പെൻഡുലത്തിൻ്റെ പിണ്ഡത്തെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല എന്നതും സ്പ്രിംഗ്-മാസ്സ് സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്. ഈ വ്യത്യാസം മത്സര പരീക്ഷകളിൽ സാധാരണയായി ചോദിക്കാറുണ്ട്.