Question

വലത് വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ഒരു കോൺ അതിന്റെ അടിത്തറയ്ക്ക് സമാന്തരമായി ഒരു ചെറിയ കോണായും ഒരു ഫ്രസ്റ്റമായും മുറിച്ചിരിക്കുന്നു. അവയുടെ ഉയരങ്ങൾ 2 : 1 എന്ന അനുപാതത്തിലാണ്. അപ്പോൾ ചെറിയ കോണിന്റെ അളവും (വ്യാപ്തം) ഫ്രസ്റ്റത്തിന്റെ അളവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതം:

• A. 19:8
• B. 8:27
• C. 27:8
• D. 8:19

Answer 1

Answer:

D. 8:19

ഉത്തരം: 8 : 19

തന്നിരിക്കുന്ന വിവരങ്ങൾ പ്രകാരം:

• ചെറിയ കോണിന്റെയും (Small Cone) ഫ്രസ്റ്റത്തിന്റെയും (Frustum) ഉയരങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള അനുപാതം = 2 : 1

---

കോണുകളുടെ ഉയരങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക

ചിത്രത്തിൽ കാണുന്നത് പോലെ, വലിയ കോണിനെ ഒരു തലം കൊണ്ട് മുറിക്കുമ്പോൾ രണ്ട് രൂപങ്ങൾ ഉണ്ടാകുന്നു—ഒരു ചെറിയ മുകളിലത്തെ കോണും, താഴെ ഒരു ഫ്രസ്റ്റവും.

• ചെറിയ കോണിന്റെ ഉയരം ($h$) = 2

• വലിയ കോണിന്റെ ആകെ ഉയരം ($H$) = ചെറിയ കോണിന്റെ ഉയരം + ഫ്രസ്റ്റത്തിന്റെ ഉയരം = $2 + 1 =$ 3

---

വ്യാപ്തങ്ങൾ (Volume) തമ്മിലുള്ള അനുപാതം കാണുക

ജ്യാമിതിയിലെ നിയമപ്രകാരം സദൃശ്യമായ (Similar) രണ്ട് ത്രിമാന രൂപങ്ങളുടെ വ്യാപ്തങ്ങളുടെ അനുപാതം അവയുടെ ഉയരങ്ങളുടെ ക്യൂബ് (Cube) അനുപാതത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും.

• $\frac{\text{ചെറിയ കോണിന്റെ വ്യാപ്തം}}{\text{വലിയ കോണിന്റെ വ്യാപ്തം}} = \left(\frac{h}{H}\right)^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}$

അതായത്:

• ചെറിയ കോണിന്റെ വ്യാപ്തം = 8 ഭാഗം

• വലിയ കോണിന്റെ ആകെ വ്യാപ്തം = 27 ഭാഗം

---

ഫ്രസ്റ്റത്തിന്റെ വ്യാപ്തം കണ്ടെത്തുക

• ഫ്രസ്റ്റത്തിന്റെ വ്യാപ്തം = വലിയ കോണിന്റെ വ്യാപ്തം − ചെറിയ കോണിന്റെ വ്യാപ്തം

• ഫ്രസ്റ്റത്തിന്റെ വ്യാപ്തം = $27 - 8 =$ 19 ഭാഗം

---

ആവശ്യപ്പെട്ട അനുപാതം കാണുക

ചോദ്യത്തിൽ ചോദിച്ചിരിക്കുന്നത് ചെറിയ കോണിന്റെ അളവും (വ്യാപ്തം) ഫ്രസ്റ്റത്തിന്റെ അളവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതമാണ്:

• അനുപാതം = 8 : 19