Question

5,√5,1..... എന്ന ശ്രേണിയുടെ n-ാം പദം 1/625 ആണ്. എങ്കിൽ n എന്നത്$\rule{1cm}{0.1pt}$

• A. 11
• B. 10
• C. 12
• D. 13

Answer 1

Answer:

A. 11

ഈ ശ്രേണിയുടെ $n$-ാം പദം 1/625 ആണെങ്കിൽ $n$-ന്റെ വില 11 ആണ്.

കണക്കാക്കുന്ന രീതി:

തന്നിരിക്കുന്ന ശ്രേണി $5, \sqrt{5}, 1, \dots$ ഒരു ഗുണോത്തര ശ്രേണി (Geometric Progression - GP) ആണ്.

• ആദ്യ പദം ($a$) = $5$

• പൊതു അനുപാതം ($r$) = $\frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

ഒരു GP-യിലെ $n$-ാം പദം ($a_n$) കാണാനുള്ള സൂത്രവാക്യം: $a_n = a \cdot r^{(n-1)}$

ചോദ്യമനുസരിച്ച് $a_n = \frac{1}{625}$ ആണ്.

$\frac{1}{625} = 5 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{(n-1)}$

ഇരുവശത്തെയും 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ:

$\frac{1}{3125} = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{(n-1)}$

നമുക്കറിയാം, $3125 = 5^5$. അതുപോലെ $5 = (\sqrt{5})^2$ ആയതിനാൽ $5^5 = ((\sqrt{5})^2)^5 = (\sqrt{5})^{10}$.

$\frac{1}{(\sqrt{5})^{10}} = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{(n-1)}$

$$\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{10} = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) ^ {(n-1)}$

ആധാരങ്ങൾ (Bases) തുല്യമായതുകൊണ്ട് ഘാതങ്ങളെ (Exponents) താരതമ്യം ചെയ്യാം:
$10 = n - 1$

$n = 10 + 1 = 11$

അതുകൊണ്ട്, ശ്രേണിയുടെ 11-ാം പദമാണ് 1/625.