Question

$27^{25}+36^{25}$ എന്ന സംഖ്യയെ 7 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന ശിഷ്ടം എത്ര ?

• A. 5
• B. 3
• C. 1
• D. 0

Answer 1

Answer:

D. 0

ഗണിതപരമായ സമീപനം

• ഈ കണക്ക് ലഘൂകരിക്കുന്നതിനായി Modular Arithmetic ഉപയോഗിക്കാം.
• ആദ്യം 27-നെ 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ കിട്ടുന്ന ശിഷ്ടം നോക്കുക: 27 ÷ 7 = 3 (ശിഷ്ടം 6). ഇതിനെ 27 ≡ 6 (mod 7) എന്ന് എഴുതാം.
• ശിഷ്ടം 6 എന്നത് 7-നേക്കാൾ 1 കുറവായതുകൊണ്ട് ഇതിനെ 27 ≡ -1 (mod 7) എന്നും സൂചിപ്പിക്കാം.
• ഇതേപോലെ, 36-നെ 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ: 36 ÷ 7 = 5 (ശിഷ്ടം 1). അതിനാൽ 36 ≡ 1 (mod 7).

ലഘൂകരണം

• നൽകിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യം: (27²⁵ + 36²⁵)
• ഇതിനെ പകരം വെച്ചാൽ: (-1)²⁵ + (1)²⁵ എന്ന് ലഭിക്കും.
• -1-ന്റെ കൃതി 25 (ഒറ്റ സംഖ്യ) ആയതിനാൽ (-1)²⁵ = -1.
• 1-ന്റെ കൃതി 25 ആയതിനാൽ (1)²⁵ = 1.
• ഇപ്പോൾ ആകെ തുക: -1 + 1 = 0.
• ശിഷ്ടം 0 ആയതുകൊണ്ട്, ഈ സംഖ്യ പൂർണ്ണമായും 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്. അതിനാൽ ഇതിന് ശിഷ്ടം ഇല്ല അല്ലെങ്കിൽ ശിഷ്ടം 0 ആണ്.