Question

$\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{1-\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+2} + \frac{1}{\sqrt{3}-2}$ -ന്റെ മൂല്യം എത്ര?

• A. -1
• B. 1
• C. 2
• D. -2

Answer 1

Answer:

D. -2

ഉത്തരം: -2

തന്നിരിക്കുന്ന പ്രസ്താവനയെ നമുക്ക് മൂന്ന് ജോടികളായി തിരിച്ച് ലളിതമാക്കാം:

$\left( \frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{1-\sqrt{2}} \right) + \left( \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} \right) + \left( \frac{1}{\sqrt{3}+2} + \frac{1}{\sqrt{3}-2} \right)$

ആദ്യത്തെ ജോടി ലളിതമാക്കുക

$\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{1-\sqrt{2}} = \frac{(1-\sqrt{2}) + (1+\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}$

• മുകൾഭാഗം (Numerator): $1 - \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} = 2$

• അടിഭാഗം (Denominator): $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ എന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ചാൽ, $1^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 - 2 = -1$

$\text{ആദ്യത്തെ ജോടിയുടെ മൂല്യം} = \frac{2}{-1} = \mathbf{-2}$

---

രണ്ടാമത്തെ ജോടി ലളിതമാക്കുക

$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{2}-\sqrt{3}) - (\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})}$

• മുകൾഭാഗം: $\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{2} - \sqrt{3} = -2\sqrt{3}$

• അടിഭാഗം: $(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = -1$

$\text{രണ്ടാമത്തെ ജോടിയുടെ മൂല്യം} = \frac{-2\sqrt{3}}{-1} = \mathbf{2\sqrt{3}}$

---

മൂന്നാമത്തെ ജോടി ലളിതമാക്കുക

$\frac{1}{\sqrt{3}+2} + \frac{1}{\sqrt{3}-2} = \frac{(\sqrt{3}-2) + (\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)}$

• മുകൾഭാഗം: $\sqrt{3} - 2 + \sqrt{3} + 2 = 2\sqrt{3}$

• അടിഭാഗം: $(\sqrt{3})^2 - 2^2 = 3 - 4 = -1$

$\text{മൂന്നാമത്തെ ജോടിയുടെ മൂല്യം} = \frac{2\sqrt{3}}{-1} = \mathbf{-2\sqrt{3}}$

---

എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും ഒന്നിച്ച് ചേർക്കുക

$\text{ആകെ തുക} = -2 + 2\sqrt{3} + (-2\sqrt{3})$
$\text{ആകെ തുക} = -2 + 0 = \mathbf{-2}$

ശരിയായ ഉത്തരം: -2