Question

7 ^ n - 4 ^ n എന്ന പ്രസ്‌താവനയെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം എന്നത് ശരിയാകുന്നത് എപ്പോൾ?

• A. 'n' ഒറ്റ സംഖ്യ ആകുമ്പോൾ
• B. n' ൻ്റെ എല്ലാ വിലകളിലും
• C. 'n' ഇരട്ട സംഖ്യ ആകുമ്പോൾ
• D. 'n' പൂർണ്ണ വർഗ്ഗം ആകുമ്പോൾ

Answer 1

Answer:

B. n' ൻ്റെ എല്ലാ വിലകളിലും

വിശദീകരണം

• ഗണിതപരമായ induction ഉപയോഗിച്ച് ഈ പ്രസ്താവന തെളിയിക്കാം.
• Statement: 7ⁿ - 4ⁿ എന്നത് 3 കൊണ്ട് divisible ആണ്, എല്ലാ n വിലകൾക്കും.
• Base Case (n=1):
  • n=1 ആകുമ്പോൾ, 7¹ - 4¹ = 7 - 4 = 3, ഇത് 3 കൊണ്ട് divisible ആണ്.
• Inductive Hypothesis:
  • 7^k - 4^k എന്നത് 3 കൊണ്ട് divisible ആണ് എന്ന് കരുതുക. അതായത്, 7^k - 4^k = 3m (m ഒരു integer ആണ്).
• Inductive Step (n=k+1):
  • 7^k+1 - 4^k+1 എന്നത് 3 കൊണ്ട് divisible ആണെന്ന് തെളിയിക്കണം.
  • 7^k+1 - 4^k+1 = 7 * 7^k - 4 * 4^k എന്ന് എഴുതാം.
  • ഇതിനെ 7 * 7^k - 7 * 4^k + 7 * 4^k - 4 * 4^k = 7(7^k - 4^k) + 3 * 4^k എന്ന് മാറ്റിയെഴുതാം.
  • നമ്മുടെ hypothesis അനുസരിച്ച്, 7^k - 4^k = 3m ആണ്. അതിനാൽ, 7(3m) + 3 * 4^k = 3(7m + 4^k) എന്ന് കിട്ടുന്നു.
  • ഇതിൽ 3(7m + 4^k) എന്നത് 3-ൻ്റെ ഗുണിതമാണ്. അതുകൊണ്ട് 7^k+1 - 4^k+1 എന്നത് 3 കൊണ്ട് divisible ആണ്.
• Mathematical induction പ്രകാരം, എല്ലാ പോസിറ്റീവ് integer വിലകൾക്കും 7ⁿ - 4ⁿ എന്നത് 3 കൊണ്ട് divisible ആണ്.