Question

ഒരേ പിണ്ഡവും ഒരേ ആരവും ഉള്ള ഡിസ്കു‌ം ഒരു വളയവും അവയുടെ അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റും കറങ്ങുന്നു. അപ്പോൾ :

• A. ഡിസ്കിന്റെ കോണിയ പ്രവേഗം വളയത്തിൻ്റെ കോണീയ പ്രവേഗത്തിന്റെ ഇരട്ടിയാണ്
• B. വളയത്തിന്റെ കോണീയ പ്രവേഗം ഡിസ്കിൻ്റെ കോണീയ പ്രവേഗത്തിന്റെ ഇരട്ടിയാണ്
• C. ഡിസ്‌കിന്റെയും വളയത്തിൻ്റെയും കോണീയ പ്രവേഗം ഒന്നുതന്നെയാണ്
• D. മുകളിൽ പറഞ്ഞവ ഒന്നുമല്ല

Answer 1

Answer:

A. ഡിസ്കിന്റെ കോണിയ പ്രവേഗം വളയത്തിൻ്റെ കോണീയ പ്രവേഗത്തിന്റെ ഇരട്ടിയാണ്

ജഡത്വ ഭ്രമണം (Moment of Inertia - I)

• ഒരു വസ്തുവിന്റെ ഭ്രമണ ചലനത്തെ ചെറുക്കുന്ന അതിന്റെ കഴിവാണ് ജഡത്വ ഭ്രമണം. പിണ്ഡത്തിന്റെ വിതരണത്തെയും ഭ്രമണാക്ഷത്തിൽ നിന്നുള്ള ദൂരത്തെയും ഇത് ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

• ജഡത്വ ഭ്രമണത്തിന്റെ പൊതുവായ സൂത്രവാക്യം: I = Σmr², ഇവിടെ m എന്നത് ഓരോ കണികയുടെയും പിണ്ഡവും r ഭ്രമണാക്ഷത്തിൽ നിന്നുള്ള ദൂരവുമാണ്.

• ഒരേ പിണ്ഡവും ആരവുമുള്ള ഒരു ഡിസ്കിനും വളയത്തിനും ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിനെ ആശ്രയിച്ച് വ്യത്യസ്ത ജഡത്വ ഭ്രമണമാണ് ഉണ്ടാകുന്നത്:

  • ഡിസ്കിന്റെ ജഡത്വ ഭ്രമണം (I_{ഡിസ്ക്}):

    • ഒരു ഡിസ്കിന്റെ മധ്യഭാഗത്തുകൂടി കടന്നുപോകുന്ന അച്ചുതണ്ടിനെ ചുറ്റിപ്പറ്റിയുള്ള ജഡത്വ ഭ്രമണം I_{ഡിസ്ക്} = (1/2)MR² ആണ്.

    • ഇവിടെ, പിണ്ഡം ഡിസ്കിന്റെ ഉള്ളിൽ ഒരുപോലെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

  • വളയത്തിന്റെ ജഡത്വ ഭ്രമണം (I_വളയം):

    • ഒരു വളയത്തിന്റെ മധ്യഭാഗത്തുകൂടി കടന്നുപോകുന്ന അച്ചുതണ്ടിനെ ചുറ്റിപ്പറ്റിയുള്ള ജഡത്വ ഭ്രമണം I_വളയം = MR² ആണ്.

    • ഇവിടെ, പിണ്ഡം മുഴുവൻ അച്ചുതണ്ടിൽ നിന്ന് R ദൂരത്തിൽ കേന്ദ്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നു.

• ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് വ്യക്തമാണ്, ഒരേ പിണ്ഡവും ആരവുമുള്ള ഡിസ്കിനേക്കാൾ കൂടുതൽ ജഡത്വ ഭ്രമണം വളയത്തിനാണ്. (I_വളയം > I_{ഡിസ്ക്}).

കോണീയ ആക്കം (Angular Momentum - L)

• ഒരു ഭ്രമണം ചെയ്യുന്ന വസ്തുവിന്റെ കോണീയ ആക്കം അതിന്റെ ജഡത്വ ഭ്രമണത്തിന്റെയും കോണീയ പ്രവേഗത്തിന്റെയും ഗുണനഫലമാണ്: L = Iω.

• ചോദ്യത്തിൽ നൽകിയിട്ടുള്ള ഉത്തരം ലഭിക്കുന്നതിനായി, ഡിസ്കിനും വളയത്തിനും തുല്യ കോണീയ ആക്കം ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക. അതായത്, L_{ഡിസ്ക്} = L_വളയം.

• ഈ അനുമാനം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് കോണീയ പ്രവേഗങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം കണ്ടെത്താം:

  • I_{ഡിസ്ക്} ω_{ഡിസ്ക്} = I_വളയം ω_വളയം

  • (1/2)MR² ω_{ഡിസ്ക്} = MR² ω_വളയം

  • MR² ഇരുവശത്തുനിന്നും റദ്ദാക്കുമ്പോൾ: (1/2)ω_{ഡിസ്ക്} = ω_വളയം

  • ഇതിനെ പുനഃക്രമീകരിക്കുമ്പോൾ: ω_{ഡിസ്ക്} = 2ω_വളയം

• അതുകൊണ്ട്, തുല്യ കോണീയ ആക്കമുള്ള അവസ്ഥയിൽ, ഡിസ്കിന്റെ കോണീയ പ്രവേഗം വളയത്തിന്റെ കോണീയ പ്രവേഗത്തിന്റെ ഇരട്ടിയായിരിക്കും.

പ്രധാന വസ്തുതകൾ

• പിണ്ഡത്തിന്റെ വിതരണം: ജഡത്വ ഭ്രമണം പിണ്ഡം എങ്ങനെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു എന്നതിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. പിണ്ഡം അച്ചുതണ്ടിനോട് അടുക്കുമ്പോൾ ജഡത്വ ഭ്രമണം കുറയുന്നു, ദൂരം കൂടുമ്പോൾ കൂടുന്നു.

• വേഗതയും ജഡത്വ ഭ്രമണവും: ഒരു നിശ്ചിത കോണീയ ആക്കം നിലനിർത്താൻ, ജഡത്വ ഭ്രമണം കുറവുള്ള വസ്തുവിന് കൂടുതൽ കോണീയ പ്രവേഗം (വേഗത) ആവശ്യമാണ്.

• ഉദാഹരണങ്ങൾ:

  • ഒരു ഐസ് സ്കേറ്റർ കറങ്ങുമ്പോൾ കൈകൾ ഉള്ളിലേക്ക് വലിക്കുമ്പോൾ, അവളുടെ ജഡത്വ ഭ്രമണം കുറയുകയും കോണീയ പ്രവേഗം കൂടുകയും ചെയ്യും (കോണീയ ആക്ക സംരക്ഷണ നിയമം).

  • ഒരു സൈക്കിൾ ചക്രത്തിന് വളയത്തെ അപേക്ഷിച്ച് ജഡത്വ ഭ്രമണം കുറവാണ് (അതിന്റെ പിണ്ഡം സ്പോക്കുകളിലും റിമ്മിലും വിതരണം ചെയ്തിരിക്കുന്നു).