Question

$\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+......+\frac{1}{9\times10}=?$

• A. 1/10
• B. 1/9
• C. 10/9
• D. 9/10

Answer 1

Answer:

D. 9/10

ഓരോ ഭിന്നസംഖ്യയും $\frac{1}{n(n+1)}$ എന്ന രൂപത്തിലാണ്. ഇതിനെ പാർഷ്യൽ ഫ്രാക്ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് വിഘടിപ്പിക്കാം:

$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1}$

ഇരുവശത്തും $n(n+1)$ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ:

$1 = A(n+1) + Bn$

ഇവിടെ $n=0$ എന്ന് നൽകിയാൽ $A=1$ എന്ന് കിട്ടും.

ഇവിടെ $n=-1$ എന്ന് നൽകിയാൽ $B=-1$ എന്ന് കിട്ടും.

അതുകൊണ്ട്, $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

ഈ തത്വം ഉപയോഗിച്ച് ശ്രേണിയിലെ ഓരോ പദത്തെയും വിഘടിപ്പിക്കാം:

• $\frac{1}{1 \times2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2}$

• $\frac{1}{2 \times3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$

• $\frac{1}{3 \times4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$

• ...

• $\frac{1}{9 \times10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10}$

ഈ ഭിന്നസംഖ്യകളെല്ലാം കൂട്ടിച്ചേർക്കുമ്പോൾ, മിക്ക പദങ്ങളും പരസ്പരം റദ്ദാക്കപ്പെടും (cancel out). ഇതിനെ ടെലിസ്കോപിംഗ് സം എന്ന് പറയുന്നു.

$\left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + ...... + \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{10}\right)$

ഇവിടെ $-\frac{1}{2}$ ഉം $+\frac{1}{2}$ ഉം, $-\frac{1}{3}$ ഉം $+\frac{1}{3}$ ഉം, അങ്ങനെ $-\frac{1}{9}$ ഉം $+\frac{1}{9}$ ഉം റദ്ദാക്കപ്പെടുന്നു.

അവസാനം ആദ്യ പദമായ $1$ ഉം അവസാന പദമായ $-\frac{1}{10}$ ഉം മാത്രം അവശേഷിക്കും.

$1 - \frac{1}{10} = \frac{10-1}{10} = \frac{9}{10}$

Shortcut

ഇത്തരം ചോദ്യങ്ങളിൽ ഉത്തരമായി വരുന്നത്

1/ ചെറിയ ഛേദം - 1/വലിയ ഛേദം

$=1/1 - 1/10$

$= 1 - 1/10$

$=9/10$