Question

$\frac{1}{2\times4}+\frac{1}{4\times6}+\frac{1}{6\times8}+......+\frac{1}{18\times20}=?$

• A. 9/10
• B. 18/20
• C. 9/40
• D. 1/40

Answer 1

Answer:

C. 9/40

• നൽകിയിട്ടുള്ള ശ്രേണി ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ ഭിന്നക രൂപമാണ്. ഓരോ പദത്തിന്റെയും അംശം (numerator) 1 ആണ്.

• ഹാരം (denominator) തുടർച്ചയായ ഇരട്ട സംഖ്യകളുടെ ഗുണിതങ്ങളാണ് (2x4, 4x6, 6x8, ...).

• ശ്രേണിയിലെ അവസാന പദം $\frac{1}{18\times20}$ ആണ്.

പാർഷ്യൽ ഫ്രാക്ഷൻ (Partial Fraction) ഉപയോഗിച്ച് പരിഹാരം:

ഈ തരം ശ്രേണികൾ പരിഹരിക്കാൻ പാർഷ്യൽ ഫ്രാക്ഷൻ വിഭജനം വളരെ പ്രയോജനകരമാണ്.

$\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right)$ എന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കാം.

1. $\frac{1}{2\times4} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right)$

2. $\frac{1}{4\times6} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right)$

3. $\frac{1}{6\times8} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{8} \right)$

4. ...

5. $\frac{1}{18\times20} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{18} - \frac{1}{20} \right)$

ശ്രേണിയുടെ ആകെ തുക = $\frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{8} \right) + ...... + \left( \frac{1}{18} - \frac{1}{20} \right) \right]$

ഇവിടെ, മിക്കവാറും എല്ലാ പദങ്ങളും പരസ്പരം ക്യാൻസൽ ചെയ്തുപോകും (Telescoping Series). ബാക്കിയാവുന്നത് ആദ്യ പദത്തിന്റെയും അവസാന പദത്തിന്റെയും ഭാഗങ്ങൾ മാത്രമാണ്.

ആകെ തുക = $\frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{20} \right)$

1. സംയുക്ത ഭിന്നകം കണ്ടെത്തുക: 2, 20 എന്നിവയുടെ ല.സാ.ഗു (LCM) 20 ആണ്.

2. $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 10}{2 \times 10} = \frac{10}{20}$

3. അപ്പോൾ, $\frac{1}{2} - \frac{1}{20} = \frac{10}{20} - \frac{1}{20} = \frac{9}{20}$

4. ഇനി, $\frac{1}{2} \times \frac{9}{20} = \frac{9}{40}$

അതുകൊണ്ട്, ശ്രേണിയുടെ ആകെ തുക $\frac{9}{40}$ ആണ്.