Question

$\frac{1}{5\times10}+\frac{1}{10\times15}+\frac{1}{15\times20}+......+\frac{1}{95\times100}=?$

• A. 1/5
• B. 19/100
• C. 19/500
• D. 95/500

Answer 1

Answer:

C. 19/500

നൽകിയിട്ടുള്ള ശ്രേണി ഒരു പ്രത്യേക പാറ്റേൺ പിന്തുടരുന്നു. ഓരോ പദവും $\frac{1}{n \times (n+5)}$ എന്ന രൂപത്തിലാണ്.

• ആദ്യ പദം: $\frac{1}{5\times10}$

• രണ്ടാം പദം: $\frac{1}{10\times15}$

• മൂന്നാം പദം: $\frac{1}{15\times20}$

• അവസാന പദം: $\frac{1}{95\times100}$

ഈ തരം ശ്രേണികൾ സാധാരണയായി ഭാഗിക ഭിന്നങ്ങളായി വിഭജിച്ചാണ് ലഘൂകരിക്കുന്നത്. $\frac{1}{a \times b}$ എന്നത് $\frac{1}{b-a} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right)$ എന്ന രൂപത്തിലേക്ക് മാറ്റാൻ കഴിയും.

നൽകിയിട്ടുള്ള ശ്രേണിയിലെ ഓരോ പദത്തെയും ഈ രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതാം:

• $\frac{1}{5\times10} = \frac{1}{10-5} \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{10} \right) = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{10} \right)$

• $\frac{1}{10\times15} = \frac{1}{15-10} \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{15} \right) = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{15} \right)$

• $\frac{1}{15\times20} = \frac{1}{20-15} \left( \frac{1}{15} - \frac{1}{20} \right) = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{15} - \frac{1}{20} \right)$

• ...

• $\frac{1}{95\times100} = \frac{1}{100-95} \left( \frac{1}{95} - \frac{1}{100} \right) = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{95} - \frac{1}{100} \right)$

ഈ ഭാഗിക ഭിന്നങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുമ്പോൾ, മധ്യത്തിലുള്ള മിക്ക പദങ്ങളും പരസ്പരം റദ്ദ് ചെയ്യപ്പെടും (ഇതിനെ 'ടെലിസ്കോപ്പിംഗ് സീരീസ്' എന്ന് പറയുന്നു).

$\frac{1}{5} \left[ \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{10} \right) + \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{15} \right) + \left( \frac{1}{15} - \frac{1}{20} \right) + ... + \left( \frac{1}{95} - \frac{1}{100} \right) \right]$

റദ്ദ് ചെയ്യപ്പെടുന്ന പദങ്ങൾക്ക് ശേഷം അവശേഷിക്കുന്നത്:

$=\frac{1}{5} \left[ \frac{1}{5} - \frac{1}{100} \right]$

$=\frac{1}{5} \left[ \frac{100 - 5}{5 \times 100} \right] = \frac{1}{5} \left[ \frac{95}{500} \right]$

$=\frac{95}{2500}$

$ = \frac{19}{500}$