Question

$p/q\lt1$ ആണെങ്കിൽ , താഴെ പറയുന്നവയിൽ ശരിയേത്

• A. $\frac{p+10}{q+10}\lt\frac{p}{q}$
• B. $\frac{p+10}{q+10}=\frac{p}{q}$
• C. $\frac{p+10}{q+10}\gt\frac{p}{q}$
• D. ഇവയൊന്നുമല്ല

Answer 1

Answer:

$\frac{p+10}{q+10}\gt\frac{p}{q}$

ശരിയായ ഉത്തരം $\frac{p+10}{q+10}\gt\frac{p}{q}$ ആണ്.

p, q എന്നിവ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളാണെന്ന് കരുതുക.

1. തന്നിരിക്കുന്ന നിബന്ധന:
   \frac{p}{q}<1
   ഇതിനർത്ഥം p എന്ന സംഖ്യ q നേക്കാൾ ചെറുതാണ് p < q

2. താരതമ്യം ചെയ്യേണ്ട ഭിന്നസംഖ്യകൾ:
   $\frac{p+10}{q+10}\text{ ഉം }\frac{p}{q}\text{ ഉം}$

3. ക്രോസ്സ് മൾട്ടിപ്ലിക്കേഷൻ വഴി പരിശോധിക്കാം:

   • ആദ്യത്തെ ഭാഗം: $(p + 10) \times q = pq + 10q$

   • രണ്ടാമത്തെ ഭാഗം: $p \times (q + 10) = pq + 10p$

4. p < q ആയതുകൊണ്ട്, ഇരുവശവും 10 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാലും വിലയിൽ മാറ്റം വരില്ല:
   10p<10q

5. ഇതിലേക്ക് pq കൂട്ടിയാൽ:
   pq+10p<pq+10q
   (q+10)p<(p+10)q

6. ഇരുവശത്തെയും പദങ്ങൾ മാറ്റി എഴുതിയാൽ:
   \frac{p+10}{q+10}>\frac{p}{q}

---

ഒരു ഉദാഹരണം വഴി മനസ്സിലാക്കാം:

• p = 1, q = 2 എന്ന് എടുക്കുക (ഇവിടെ \frac{1}{2} < 1 ആണ്).

• അങ്ങനെയെങ്കിൽ, $\frac{p+10}{q+10} = \frac{1+10}{2+10} = \frac{11}{12} \approx 0.92$

• $\frac{p}{q} = \frac{1}{2} = 0.5$

ഇവിടെ 0.92 > 0.5 ആയതുകൊണ്ട് Option C ആണ് ശരി.

---

• ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ അസമത്വങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, p/q < 1 എന്നത് p < q എന്നതിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു (q എന്നത് പൂജ്യമല്ലെങ്കിൽ).

• ഇവിടെ p എന്നത് അംശത്തെയും, q എന്നത് ഛേദത്തെയും സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

• ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ വില 1-നേക്കാൾ കുറവാണെങ്കിൽ, അതിന്റെ അംശം ഛേദത്തേക്കാൾ ചെറുതായിരിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്, 2/3 < 1, ഇവിടെ 2 < 3 ആണ്.

• ഇതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചില പ്രധാന നിയമങ്ങൾ:

  • p > q ആണെങ്കിൽ: p/q > 1 ആയിരിക്കും.

  • p = q ആണെങ്കിൽ: p/q = 1 ആയിരിക്കും.

  • p < q ആണെങ്കിൽ: p/q < 1 ആയിരിക്കും.

• മത്സരപ്പരീക്ഷകളിൽ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ വലിപ്പം താരതമ്യം ചെയ്യാനും ക്രമീകരിക്കാനും ഇത്തരം ആശയങ്ങൾ വളരെ പ്രധാനമാണ്.