Question

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{7}}{\sqrt{2} - \sqrt{7}}$ എന്ന സംഖ്യ :

• A. ഒരു പരിമേയ സംഖ്യ
• B. ഒരു അപരിമേയ സംഖ്യ
• C. ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ
• D. ഇവയിലൊന്നുമല്ല

Answer 1

Answer:

B. ഒരു അപരിമേയ സംഖ്യ

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{7}}{\sqrt{2} - \sqrt{7}}$ എന്നത് ഒരു അപരിമേയ സംഖ്യ ആണ്.

തന്നിരിക്കുന്ന ഭിന്നസംഖ്യയുടെ താഴെയുള്ള ഭാഗത്തുനിന്ന് (ഛേദം) റൂട്ട് ഒഴിവാക്കാൻ മുകളിലും താഴെയും $(\sqrt{2} + \sqrt{7})$ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക:

$= \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{7})(\sqrt{2} + \sqrt{7})}{(\sqrt{2} - \sqrt{7})(\sqrt{2} + \sqrt{7})}$

• മുകളിലെ ഭാഗം: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
  $(\sqrt{2})^2 + 2(\sqrt{2})(\sqrt{7}) + (\sqrt{7})^2 = 2 + 2\sqrt{14} + 7 = 9 + 2\sqrt{14}$

• താഴെയുള്ള ഭാഗം: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$
  $(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{7})^2 = 2 - 7 = -5$

ഇപ്പോൾ സമവാക്യം ഇങ്ങനെയാകുന്നു:
$= \frac{9 + 2\sqrt{14}}{-5} = -\frac{9}{5} - \frac{2\sqrt{14}}{5}$

കാരണം:

ഈ ഉത്തരത്തിൽ $\sqrt{14}$ എന്ന പദം ബാക്കിയുണ്ട്. $\sqrt{14}$ എന്നത് കൃത്യമായ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയല്ല, അതൊരു അപരിമേയ സംഖ്യയാണ്. ഒരു പരിമേയ സംഖ്യയെ അപരിമേയ സംഖ്യയുമായി കൂട്ടുകയോ കുറയ്ക്കുകയോ ചെയ്താൽ കിട്ടുന്ന ഫലം എപ്പോഴും ഒരു അപരിമേയ സംഖ്യ ആയിരിക്കും.