Question

$y = 2 - x ^ 2$ എന്ന parabola യും y=-x എന്ന രേഖയക്കും ഇടയിലുള്ള regeon- ൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം എത്ര ?

• A. 3/2
• B. 8/3
• C. 5/6
• D. 9/2

Answer 1

Answer:

D. 9/2

y = 2 - x² എന്ന പാരബോളയും y = -x എന്ന രേഖയും ചേർന്ന പ്രദേശം കണ്ടുപിടിക്കാൻ, ആദ്യം രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളും കൂട്ടിമുട്ടുന്ന ബിന്ദുക്കൾ കണ്ടുപിടിക്കണം. അതിനു ശേഷം, ആ ബിന്ദുക്കൾക്കിടയിൽ പാരബോളയുടെയും രേഖയുടെയും ഇടയിലുള്ള പ്രദേശം കണ്ടുപിടിക്കാൻ സംയോജനം ഉപയോഗിക്കാം. ആദ്യം, കൂട്ടിമുട്ടുന്ന ബിന്ദുക്കൾ കണ്ടുപിടിക്കാൻ, y = 2 - x² എന്ന സമവാക്യവും y = -x എന്ന സമവാക്യവും തുല്യമാക്കുക. 2 - x² = -x x² - x - 2 = 0 ഇതിനെ factor ചെയ്യുമ്പോൾ, (x - 2)(x + 1) = 0 x = 2 അല്ലെങ്കിൽ x = -1 ഇവയാണ് കൂട്ടിമുട്ടുന്ന ബിന്ദുക്കളുടെ x-അക്ഷത്തിലെ വിലകൾ. ഇനി, x = -1 മുതൽ x = 2 വരെ സംയോജനം ചെയ്യുമ്പോൾ, പാരബോളയുടെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്നും രേഖയുടെ സമവാക്യം കുറയ്ക്കണം. വിസ്തീർണ്ണം (A) = ∫[-1, 2] ((2 - x²) - (-x)) dx A = ∫[-1, 2] (2 - x² + x) dx A = [2x - (x³/3) + (x²/2)][-1, 2] A = (2(2) - (2³/3) + (2²/2)) - (2(-1) - ((-1)³/3) + ((-1)²/2)) A = (4 - (8/3) + 2) - (-2 + (1/3) + (1/2)) A = (6 - 8/3) - (-2 + 1/3 + 1/2) A = (18/3 - 8/3) - (-12/6 + 2/6 + 3/6) A = 10/3 - (-7/6) A = 10/3 + 7/6 A = 20/6 + 7/6 A = 27/6 A = 9/2