Question

R ആരമുള്ള ഒരു ഗോളത്തിന് ഉള്ളിൽ ആലേഖനം ചെയ്യാൻ പറ്റുന്ന പരമാവധി വ്യാപ്തമുള്ള സിലിണ്ടാറിൻ്റെ ഉയരം എത്ര?

• A. $$4R/\sqrt{3}$$
• B. $$2R/\sqrt{3}$$
• C. $$4R^2/\sqrt{3}$$
• D. $$2R^2/3$$

Answer 1

Answer:

$$2R/\sqrt{3}$$

സിലിണ്ടറിന്റെ ആരം 'r' ഉം അതിന്റെ ഉയരം 'h' ഉം ആയിരിക്കട്ടെ. ഗോളത്തിന്റെ ആരം 'R' ആയി നൽകിയിരിക്കുന്നു. പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ഇവ ലഭിക്കും: r² + (h/2)² = R², അല്ലെങ്കിൽ r² = R² - (h²/4). സിലിണ്ടറിന്റെ വ്യാപ്തം V = πr²h ആണ് നൽകുന്നത്. r² എന്നതിന് പകരം വയ്ക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് V = π(R² - h²/4)h = πR²h - (π/4)h³ ലഭിക്കും. പരമാവധി വ്യാപ്തം കണ്ടെത്താൻ, വ്യാപ്ത സമവാക്യത്തിന്റെ നിർണായക പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. h നെ അപേക്ഷിച്ച് V യുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് എടുത്ത് പൂജ്യത്തിലേക്ക് സജ്ജീകരിക്കുന്നതിലൂടെയാണ് ഇത് ചെയ്യുന്നത്: dV/dh = πR² - (3π/4)h² = 0. h എന്നതിന് പരിഹാരം കാണുമ്പോൾ, നമുക്ക് h² = (4/3)R², അല്ലെങ്കിൽ h = 2R/√3 ലഭിക്കും. V യുടെ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് എടുത്ത് അത് നെഗറ്റീവ് ആണോ എന്ന് പരിശോധിച്ചുകൊണ്ട് h ന്റെ ഈ മൂല്യം പരമാവധി വ്യാപ്തവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നുണ്ടോ എന്ന് നമുക്ക് പരിശോധിക്കാൻ കഴിയും. രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് d²V/dh² = -(3π/2)h ആണ്, ഇത് നമ്മൾ കണ്ടെത്തിയ h ന്റെ പോസിറ്റീവ് മൂല്യത്തിന് നെഗറ്റീവ് ആണ്. അതിനാൽ, പരമാവധി വ്യാപ്തമുള്ള സിലിണ്ടറിന്റെ ഉയരം 2R/√3 ആണ്