Question

x ഉം y ഉം നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണ് എങ്കിൽ 5x + 8y എന്ന രൂപത്തിൽ ഇല്ലാത്ത ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യ ഏതാണ്?

• A. 14
• B. 37
• C. 27
• D. അത്തരമൊരു സംഖ്യ നിലവിലില്ല

Answer 1

Answer:

C. 27

Diofantine (Diofantine Equations)

• ഈ ചോദ്യം ഒരു ഡയോഫാന്റൈൻ സമവാക്യവുമായി (Diofantine Equation) ബന്ധപ്പെട്ടതാണ്. രണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ (integers) രേഖീയ ജോഡി (linear combination) ആയി പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയാത്ത ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യ കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കുന്ന പ്രശ്നങ്ങളാണിവ.

• ഇവിടെ, 5x + 8y എന്ന രൂപത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയാത്ത ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യ കണ്ടെത്തണം. x, y എന്നിവ പൂജ്യമോ അതിൽ കൂടുതലോ ആയ പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണ് (non-negative integers).

പ്രധാനപ്പെട്ട സൂത്രവാക്യം (Key Formula)

• രണ്ട് സഹ അഭാജ്യ സംഖ്യകൾക്ക് (coprime integers) a, b എന്നിവയ്ക്ക്, അവയുടെ രേഖീയ ജോഡികളായി (linear combinations) പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയാത്ത ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യ ab - a - b ആണ്.

• ഇവിടെ a = 5, b = 8. ഈ സംഖ്യകൾ സഹ അഭാജ്യങ്ങളാണ് (gcd(5, 8) = 1).

• അതിനാൽ, ഈ രൂപത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയാത്ത ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യ = (5 * 8) - 5 - 8 = 40 - 5 - 8 = 27.