Question

ഒരു സമാന്തര പ്രോഗ്രഷന്റെ 4-ാം പദം ആദ്യപദത്തിന്റെ 3 മടങ്ങിന് തുല്യമാണ്. 7-ാം പദം,3-ാം പദത്തിന്റെ 2 മടങ്ങിനേക്കാൾ 1 കൂടുതലാണ്. എങ്കിൽ ആദ്യപദം എന്ത് ?

• A. 3
• B. - 3
• C. 3/2
• D. 2/3

Answer 1

Answer:

A. 3

ആദ്യപദം 3 ആണ്.

ചെയ്യേണ്ട വിധം:

സമാന്തര പ്രോഗ്രഷന്റെ ആദ്യപദം a എന്നും, പൊതുവ്യത്യാസം d എന്നും എടുക്കുക. n-ാം പദം കാണാനുള്ള സമവാക്യം: $x_n = a + (n-1)d$ ആണ്.

ചോദ്യത്തിലെ വിവരങ്ങൾ അനുസരിച്ച് രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കാം:

1. ഒന്നാമത്തെ നിബന്ധന: 4-ാം പദം ആദ്യപദത്തിന്റെ 3 മടങ്ങിന് തുല്യമാണ്.

• 4-ാം പദം = a + 3d

• സമവാക്യം: a + 3d = 3a

• 3d = 3a - a

• 3d = 2a --- (സമവാക്യം 1)

2. രണ്ടാമത്തെ നിബന്ധന: 7-ാം പദം, 3-ാം പദത്തിന്റെ 2 മടങ്ങിനേക്കാൾ 1 കൂടുതലാണ്.

• 7-ാം പദം = a + 6d

• 3-ാം പദം = a + 2d

• സമവാക്യം: a + 6d = 2(a + 2d) + 1

• a + 6d = 2a + 4d + 1

• പദങ്ങളെ മാറ്റി എഴുതുമ്പോൾ: 6d - 4d = 2a - a + 1

• 2d = a + 1 --- (സമവാക്യം 2)

ഉത്തരം കണ്ടെത്തൽ:
സമവാക്യം 1-ൽ നിന്ന് 2a = 3d എന്ന് നമുക്കറിയാം. അതിനാൽ ഇരുവശവും 2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് സമവാക്യം 2-നെ മാറ്റാം:

• 2 × (2d) = 2 × (a + 1)

• 4d = 2a + 2

ഇവിടെ 2a-ക്ക് പകരം 3d എന്ന് നൽകാം:

• 4d = 3d + 2

• 4d - 3d = 2

• d = 2 (പൊതുവ്യത്യാസം = 2)

ഇനി d = 2 എന്നത് സമവാക്യം 1-ൽ നൽകിയാൽ ആദ്യപദം (a) ലഭിക്കും:

• 2a = 3 × 2

• 2a = 6

• $a = \frac{6}{2} = \mathbf{3}$

അതിനാൽ, ഈ സമാന്തര പ്രോഗ്രഷന്റെ ആദ്യപദം 3 ആണ് (ശ്രേണി: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15...).