Practice Questions

Language development and cognitive development are intertwined

Cognitive processes precede language development

The social learning environment influences cognitive development

1 ^ 2 + 2 ^ 1 +........+ n^ 1 > n^3/3 

P(1) =1^2> (1^ 3)/3

 P(k)=1^ 2 +2^2 +..........+ k ^ 2 > (k ^ 3)/3 

P(k + 1) പ്രസ്താവന ന് ശരിയാണോ എന്ന് തെളിയിക്കുക. 

1+2+3+k²+(k+1) 

=(1^ 2 +2^ 2 +,........+k^ 2 )+ (k + 1) ^ 2 > (k ^ 3)/3 + (k + 1) ^ 2 

= 1/3 × [k ^ 3 + 3k ^ 2 + 6k + 3] = 1/3 × [(k + 1) ^ 1 + 3k + 2] > 1/3 × (k + 1) ^ 1

P (k+1) സത്യമാകുന്നു. ആയതിനാൽ n ന്റെ വില എണ്ണൽ സംഖ്യ ആയിരിക്കും.

n എണ്ണൽ സംഖ്യ ആയിരിക്കും

n, +ve സംഖ്യ ആയിരിക്കും

'n' ഭിന്ന സംഖ്യ ആയിരിക്കും

'n' ഇരട്ട സംഖ്യ ആയിരിക്കും

n = 1 ആയാൽ 

3^{2n} - 1 = 3^2-1 = 8 

ഇത് 8 കൊണ്ട് പൂർണമായി ഹരിക്കാം 

n = 2 ആയാൽ 

3^{2n} - 1 = 3^{4} - 1

= 81 - 1 = 80 , 8 കൊണ്ട് പൂർണമായി ഹരിക്കാം

n = 1

P(1) = 4 - 3 - 1 = 0

n = 2 P(2) = 16 - 6 - 1 = 9

n∈N 

ആദ്യം n = 1 ആകുമ്പോൾ, 3^(2×1) - 1 = 8 ആകുന്നു. 
ഇത് 8 കൊണ്ട് divisible ആണ്.

അടുത്തതായി, 3^(2k) - 1 എന്നത് 8 കൊണ്ട് divisible ആണെന്ന് കരുതുക. 

k എന്നത് ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്.

ഇനി 3^(2(k+1)) - 1 എന്നത് 8 കൊണ്ട് divisible ആണെന്ന് തെളിയിക്കണം.

3^(2(k+1)) - 1 

= 3^(2k+2) - 1 

= 9 × 3^(2k) - 1 

= 9 * 3^(2k) - 9 + 8 

= 9(3^(2k) - 1) + 8.

ഇവിടെ 9(3^(2k) - 1) എന്നതും 8 ഉം 8 കൊണ്ട് divisible ആണ്.

 അതിനാൽ 3^(2(k+1)) - 1 എന്നത് 8 കൊണ്ട് divisible ആണ്.

അതുകൊണ്ട് ഗണിതീയ ആഗമന പ്രകാരം, എല്ലാ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾക്കും 3^(2n) - 1 എന്നത് 8 കൊണ്ട് divisible ആണ്.

n' ൻ്റെ എല്ലാ വിലകളിലും

'n' ഒറ്റ സംഖ്യ ആകുമ്പോൾ

'n' ഇരട്ട സംഖ്യ ആകുമ്പോൾ

'n' പൂർണ്ണ വർഗ്ഗം ആകുമ്പോൾ

Challenger App

No.1 PSC Learning App