Question

ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ 7-ാം പദത്തിന്റെ 7 മടങ്ങ് അതിന്റെ 11ആം പദത്തിന്റെ 11 മടങ്ങ് തുല്യമാണെങ്കിൽ, അതിന്റെ 18-ാം പദം ---- ആയിരിക്കും.

• A. 11
• B. 18
• C. 7
• D. ഇവ ഒന്നും അല്ല

Answer 1

Answer:

D. ഇവ ഒന്നും അല്ല

ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ (Arithmetic Progression) 7-ാം പദത്തിന്റെ 7 മടങ്ങ് അതിന്റെ 11-ാം പദത്തിന്റെ 11 മടങ്ങിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, അതിന്റെ 18-ാം പദം പൂജ്യം (0) ആയിരിക്കും.

ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ ആദ്യപദം a എന്നും പൊതുവ്യത്യാസം d എന്നും കരുതുക.
n-ാം പദം കാണാനുള്ള സമവാക്യം: $a_n = a + (n - 1)d$

• 7-ാം പദം (a₇) = a + 6d

• 11-ാം പദം (a₁₁) = a + 10d

ചോദ്യത്തിൽ തന്നിരിക്കുന്ന വിവരപ്രകാരം:
$7 \times (a_7) = 11 \times (a_{11})$
$7(a + 6d) = 11(a + 10d)$

ബ്രായ്ക്കറ്റ് മാറ്റി ഗുണിക്കുമ്പോൾ:
$7a + 42d = 11a + 110d$

എല്ലാ പദങ്ങളെയും ഒരു വശത്തേക്ക് മാറ്റുക:
$11a - 7a + 110d - 42d = 0$
$4a + 68d = 0$

ഈ സമവാക്യത്തെ മുഴുവനായി 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ:
$a + 17d = 0$

നമുക്ക് കണ്ടെത്തേണ്ടത് 18-ാം പദമാണ് (a₁₈):
$a_{18} = a + (18 - 1)d$
$a_{18} = a + 17d$

നമുക്ക് മുൻപ് ലഭിച്ച സമവാക്യത്തിൽ നിന്നും a + 17d = 0 ആണെന്ന് അറിയാം.
അതുകൊണ്ട്, 18-ാം പദം = 0.